Question

某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲(chǔ)務(wù)金數(shù)目a₁，a₂，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利.這就是說(shuō)，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?i>a₁（1＋r）^a－1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?i>a₂（1＋r）^a－2，……，以T_n表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.

（Ⅰ）寫(xiě)出與（n≥2）的遞推關(guān)系式；

（Ⅱ）求證：T_n＝A_n＋B_n，其中｛A_n｝是一個(gè)等比數(shù)列，｛B_n｝是一個(gè)等差數(shù)列.

Answer 1

解析:

解：（Ⅰ）我們有．

（Ⅱ），對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式，得

  ，                               ①

在①式兩端同乘，得

                    ②

②①，得

                            ．

即．

如果記，，

則．

其中是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．