Question

己知函數(shù)f（x）=x²e^-x
（Ⅰ）求f（x）的極小值和極大值；
（Ⅱ）當(dāng)曲線y=f（x）的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求l在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x²e^-x，∴f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=e^-x（2x-x²），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）與（2，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)．
∴x=0是極小值點(diǎn)，x=2極大值點(diǎn)，又f（0）=0，f（2）=

4

e2

．
故f（x）的極小值和極大值分別為0，

4

e2

．
（II）設(shè)切點(diǎn)為（x0，x02e-x0），
則切線方程為y-x02e-x0=e-x0(2x0-x02)（x-x₀），
令y=0，解得x=

x02-x0

x0-2

=(x0-2)+

2

x0-2

+3，
因?yàn)榍�線y=f（x）的切線l的斜率為負(fù)數(shù)，∴e-x0（2x0-

x

20

)＜0，∴x₀＜0或x₀＞2，
令f(x0)=x0+

2

x0-2

+1，
則f′(x0)=1-

2

(x0-2)2

=

(x0-2)2-2

(x0-2)2

．
①當(dāng)x₀＜0時(shí)，(x0-2)2-2＞0，即f^′（x₀）＞0，∴f（x₀）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，∴f（x₀）＜f（0）=0；
②當(dāng)x₀＞2時(shí)，令f^′（x₀）=0，解得x0=2+

2

．
當(dāng)x0＞2+

2

時(shí)，f^′（x₀）＞0，函數(shù)f（x₀）單調(diào)遞增；當(dāng)2＜x0＜2+

2

時(shí)，f^′（x₀）＜0，函數(shù)f（x₀）單調(diào)遞減．
故當(dāng)x0=2+

2

時(shí)，函數(shù)f（x₀）取得極小值，也即最小值，且f(2+

2

)=3+2

2

．
綜上可知：切線l在x軸上截距的取值范圍是（-∞，0）∪[2

2

+3，+∞)．