Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為且經過點P（2，）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C的左右頂點分別為A，B，過點A斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E．是否存在定點Q，對于任意的k（k≠0）都有BD⊥EQ，若存在，求△AQD的面積的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，理由見解析

【解析】

(1根據離心率得到,將的坐標代入橢圓方程,,即可得到;

(2) 設直線AE：y＝k（x+4），不妨設k＞0，E（0，4k），D（m，n），Q（c，d）,聯立直線與橢圓,根據韋達定理求得,再根據垂直以及的任意性可得的坐標,再根據面積公式求得面積,再根據基本不等式求得最大值.

（1）e，設a＝2k，c＝k，則b，k＞0，

點P（2，）代入方程得，，解得k＝2，

所以a＝4，b，所以橢圓的方程為；

（2）如圖所示:

設直線AE：y＝k（x+4），不妨設k＞0，E（0，4k），D（m，n），Q（c，d）

直線AE：y＝k（x+4）與橢圓聯立，消去y，得（4k2+3）x2+32k2x+4（16k2﹣12）＝0，

由﹣4m，得m，n＝k（m+4），

由BD⊥EQ，（m﹣4，n）（c，d﹣4k）＝0，得c（m﹣4）+n（d﹣4k）＝0，

即c0，化簡得4k（c+3）﹣3d＝0，

由k的任意性（k≠0），c＝﹣3，d＝0，所以Q（﹣3，0），

S△AQD，當且僅當k時，取等號，

故當k時，△AQD的面積的最大值為．