Question

【題目】已知拋物線：準線為，焦點為，點是拋物線上位于第一象限的動點，直線（為坐標原點）交于點，直線交拋物線于、兩點，為線段中點．

（1）若，求直線的方程；

（2）試問直線的斜率是否為定值，若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是，定值0

【解析】

（1）由=5及拋物線定義得點橫坐標為4，求出直線 OA的方程，進而求得，利用點斜式方程即可得到直線的方程；

（2）由已知直線OA的斜率存在，設直線OA的方程為，與準線聯立

解得；由為線段中點，得坐標為，將直線OA的方程與拋物線方程聯立可得，計算直線的斜率即可得到答案.

（1）拋物線的準線為，的焦點為，

由及拋物線定義得點橫坐標為4，

由點位于第一象限內且在拋物線上得點坐標為，

于是=1，則直線OA的方程為，與準線聯立解得，

因此=，所以直線的方程為，即.

（2）由已知直線OA的斜率存在，設直線OA的方程為，與準線聯立

解得，于是，

由已知，故設直線的方程為，與聯立并消去得， ，其中.

設，則，則 ，

由于為線段中點，于是點坐標為，

直線OA的方程，與聯立解得，

所以直線的斜率為0，綜上可知直線的斜率為定值0.