Question

【題目】已知函數.

（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）當時，若不等式對一切實數恒成立，求的取值范圍；

（3）當時，設，若存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）;(3).

【解析】

（1）根據不等式的解集可以得到相對應的不等式，再結合已知不等式直接求解即可；

（2）分類討論，結合一次函數的性質和二次函數的性質直接求解即可；

（3）(方法1)對函數的解析式進行配方，利用零點存在原理，結合一元二次方程根的分布性質直接求解即可；

(方法2) 因為存在，使得成立，所以關于的方程有兩個不等實根，且至少有一根在內，這樣結合一元二次方程根的分布性、函數的單調性直接求解即可.

（1）因為

，

所以

（2）當時，不等式.

若，則不等式不恒成立.

則由題意可得解得

即的取值范圍是

（3）(方法1).

因為存在，使得成立，所以函數在區間內的值有正有負.

所以必須有，解得或 ①

若，即，亦即，則，于是必須滿足，所以. ②

若，即，則，必有，不滿足條件.

若，即，則，不滿足條件.

由①②解得的取值范圍是

(方法2)因為存在，使得成立，

所以關于的方程有兩個不等實根，且至少有一根在內.

由，解得或 ①

當時，，

由得，令 ，所以，，該函數在單調遞減，在上單調遞增，所以，所以②

由①②得的取值范圍是.