Question

【題目】設(shè)，

（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（2）討論與的大小關(guān)系；

（3）求a的取值范圍，使得對(duì)任意成立.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即得函數(shù)的最小值；

（2）構(gòu)造函數(shù)設(shè)，求出函數(shù)的單調(diào)性，分類討論即得解；

（3）根據(jù)（1）可得不等式等價(jià)于，解不等式即得解.

（1）由題設(shè)知，，

∴，令得，

當(dāng)時(shí)，，故是的單調(diào)減區(qū)間.

當(dāng)時(shí)，，故是的單調(diào)遞增區(qū)間，

因此，是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為.

（2），

設(shè)，則，

因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，，即.

當(dāng)時(shí)，，即.

綜上：當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)，即.

（3）由（1）知的最小值為1，

∴，對(duì)任意成立等價(jià)于，即.

∴.