Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），將曲線上每一點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線與曲線交于點，將射線繞極點逆時針方向旋轉交曲線于點.

（1）求曲線的參數方程；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（為參數）；（2）.

【解析】

（1）根據伸縮變換結合曲線的參數方程可得出曲線的參數方程；

（2）將曲線的方程化為普通方程，然后化為極坐標方程，設點的極坐標為，點的極坐標為，將這兩點的極坐標代入橢圓的極坐標方程，得出和關于的表達式，然后利用三角恒等變換思想即可求出面積的最大值．

（1）由于曲線的參數方程為（為參數），

將曲線上每一點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到曲線，

則曲線的參數方程為（為參數）；

（2）將曲線的參數方程化為普通方程得，

化為極坐標方程得，即，

設點的極坐標為，點的極坐標為，

將這兩點的極坐標代入橢圓的極坐標方程得，，

的面積為，

當時，的面積取到最大值.