Question

設f（x）=log₂x的反函數為f^-1（x），且f^-1（a）+f^-1（b）=4，則a+b的最大值是

 

．

Answer 1

分析：本題考查反函數的概念、反函數的求法、指數式和對數式的互化、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等相關知識．
根據y=log₂x可得f^-1（x）的解析式，由此代入f^-1（a）+f^-1（b）=4可得a、b的關系式，根據基本不等式

a+b

2

≥

ab

可得a+b的最大值．

解答：解：由y=log₂x解得：x=2^y
∴函數f（x）=log₂x的反函數為f^-1（x）=2^x，x∈R
由f^-1（a）+f^-1（b）=4得：2^a+2^b=4
∵2^a+2^b=4≥2

2a2b

=2

2a+b

∴a+b≤2
即a+b的最大值是2
答案：2

點評：本題雖然小巧，但用到的知識卻是豐富的，具有綜合性特點，涉及了反函數、指數式和對數式的互化、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等三個方面的知識，是這些內容的有機融合，是極富考查力的小題；
解題中注意在獲取2^a+2^b=4后，如何找到與a+b的聯系是關鍵，2^a•2^b=2^a+b這一信息很重要．