Question

【題目】已知數列的各項均為整數，其前n項和為．規定：若數列滿足前r項依次成公差為1的等差數列，從第項起往后依次成公比為2的等比數列，則稱數列為“r關聯數列”．

（1）若數列為“6關聯數列”，求數列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，求出，并證明：對任意，；

（3）若數列為“6關聯數列”，當時,在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求，并探究在數列中是否存在三項，，其中m，k，p成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2），證明見解析

（3），不存在，理由見解析

【解析】

（1）根據題意得到，，且.解得即可求出的通項公式.

（2）由（1）得，利用換元法證明數列的最小項為，即可證明對任意，.

（3）由（1）可知，當時，，由此可得出.假設在數列中存在三項，，（其中，，成等差數列）成等比數列，則，推導出故，這與題設矛盾，所以在數列中不存在三項，，（其中，，成等差數列）成等比數列.

（1）∵為“6關聯數列”，

∴前6項為等差數列，從第5項起為等比數列.

∴，，且.

即，解得.

∴.

（2）由（1）得.

：，

：，

：，

可見數列的最小項為.

，

由列舉法知：當時，；

當時，（），

設，則，．

（3）由（1）可知，當時，，

因為：，.

故：.

假設在數列中存在三項，，（其中，，成等差數列）成等比數列，

則：，即：，

即（*）

因為，，成等差數列，所以，

（*）式可以化簡為，

即：，故，這與題設矛盾.

所以在數列中不存在三項，，（其中，，成等差數列）成等比數列.