【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）已知函數
在
時總有
成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
（1）先對函數求導，得到
，分別討論
，
，
，
四種情況，即可求出結果；
（2）先構造函數
，分別討論，
兩種情況，用導數的方法研究函數單調性，即可根據題意求出參數范圍.
（1）因為
，
所以
.
（ⅰ）若，
恒成立，所以
在
上單調遞增.
（ⅱ）若，
，當
時，，所以在
上單調遞增；當
時，，所以在
上單調遞增；當
時，
，所以在
上單調遞減.
（ⅲ）若，
恒成立，所以在上單調遞增.
（ⅳ）若，
，當時，，所以在
上單調遞增；當
時，，所以在
上單調遞減；當
時，，所以在
上單調遞增.
綜上，當或時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在
和上單調遞增，在
上單調遞減
（2）構造函數，
當時，由
，得
，
，∴
.
當時，
，
因為，所以
，
所以
在
上恒成立，故
在上單調遞增.
，解得
，又，所以
.
故
的取值范圍是.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（t為參數）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為
.
（1）求圓C的直角坐標方程及直線的斜率；
（2）直線與圓C交于M，N兩點，
中點為Q，求Q點軌跡的直角坐標方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于函數
，有下列四個命題：①
的值域是
；②是奇函數；③在上單調遞增；④方程
總有四個不同的解；其中正確的是（ ）
A.①②B.②③C.②④D.③④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的各項均為整數，其前n項和為
．規定：若數列滿足前r項依次成公差為1的等差數列，從第
項起往后依次成公比為2的等比數列，則稱數列為“r關聯數列”．
（1）若數列為“6關聯數列”，求數列的通項公式；
（2）在（1）的條件下，求出，并證明：對任意
，
；
（3）若數列為“6關聯數列”，當
時,在
與
之間插入n個數，使這
個數組成一個公差為
的等差數列，求，并探究在數列
中是否存在三項
，
，
其中m，k，p成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，底面是直角梯形，其中
，
，
，
，
為棱
上的點，且
．
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）設
為棱
上的點（不與
，
重合），且直線
與平面所成角的正弦值為
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知無窮數列
,
,
滿足:對任意的
,都有
=
,
=
,
=
.記
=
(
表示
個實數
,
,
中的最大值).
(1)若
=
,
=
,
=
,求
,
,
的值;
(2)若=,
=,求滿足
=
的的所有值;
(3)設,,是非零整數,且
,
,
互不相等,證明:存在正整數
,使得數列,,中有且只有一個數列自第項起各項均為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關于點（2，3）對稱，則直線l的方程是________________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，且離心率為
，M為橢圓上任意一點，當∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】
（Ⅰ）由題意可求得
，則
，橢圓
的方程為.
（Ⅱ）設
，
，
當直線
的斜率不存在或直線
的斜率不存在時，
.
當直線、的斜率存在時，
,設直線的方程為
，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理計算可得直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，則.綜上可得：直線與的斜率之積為定值
.
（Ⅰ）設
由題
，
解得，則，
橢圓的方程為.
（Ⅱ）設，，當直線的斜率不存在時，
設
，則
，直線的方程為
代入，
可得
，
，則
,
直線的斜率為
，直線的斜率為
，
，
當直線的斜率不存在時，同理可得.
當直線、的斜率存在時，設直線的方程為，
則由
消去
可得：
，
又
，則
，代入上述方程可得:
，
，
則
，
設直線的方程為
，同理可得
，
直線的斜率為
直線的斜率為， 
.
所以，直線與的斜率之積為定值，即.
【點睛】
(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數f（x）＝（x＋b）（
－a），（b＞0），在（－1，f（－1））處的切線方程為（e－1）x＋ey＋e－1＝0．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）若方程f（x）＝m有兩個實數根x1，x2，且x1＜x2，證明：x2－x1≤1＋
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】海水稻就是耐鹽堿水稻，是一種介于野生稻和栽培稻之間的普遍生長在海邊灘涂地區的水稻，具有抗旱抗澇、抗病蟲害、抗倒伏抗鹽堿等特點.近年來，我國的海水稻研究取得了階段性成果，目前已開展了全國大范圍試種.某農業科學研究所分別抽取了試驗田中的海水稻以及對照田中的普通水稻各
株，測量了它們的根系深度（單位：
），得到了如下的莖葉圖，其中兩豎線之間表示根系深度的十位數，兩邊分別是海水稻和普通水稻根系深度的個位數，則下列結論中不正確的是（ ）
A.海水稻根系深度的中位數是
B.普通水稻根系深度的眾數是
C.海水稻根系深度的平均數大于普通水稻根系深度的平均數
D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
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