Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD是邊長為2cm的等邊三角形，且與底面垂直，而底面ABCD是面積為2

3

cm2的菱形，∠ADC是銳角．
（I）求四棱錐P-ABCD的體積；
（II）求證PA⊥CD．

Answer 1

分析：（I）做出PE⊥CD，根據(jù)已知中側(cè)面PCD與底面垂直，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，我們易得PE即為棱錐的高，結(jié)合側(cè)面PCD是邊長為2cm的等邊三角形，底面ABCD是面積為2

3

cm2的菱形，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
（II）要證明PA⊥CD，我們可以根據(jù)已知，先證明平面PAE⊥CD，然后根據(jù)線面垂直的定義，得到結(jié)論．

解答：解：（I）過P作PE⊥CD，垂足為E，
∵側(cè)面PCD與底面垂直
∴PE⊥平面ABCD
又∵側(cè)面PCD是邊長為2cm的等邊三角形，
∴PE=

3

cm，
∴四棱錐P-ABCD的體積
V=

1

3

×

3

×2

3

=2cm³
（II）∵底面ABCD是面積為2

3

cm2的菱形，
∴S=CD²•sin∠ADC
又∵CD=2cm
∴sin∠ADC=

3

2

∴∠ADC=60°
連接AC，則△ADC為等邊三角形
連接AE后，由E為CD的中點，
則AE⊥CD，結(jié)合（1）的結(jié)論，且AE∩PE=E
∴CD⊥平面PAE
又∵PA?平面PAE
∴PA⊥CD

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面垂直的性質(zhì)，（I）中求出棱錐的高是解答的關(guān)鍵，（II）中將問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的證明是處理此類問題的技巧．