Question

已知

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，若函數f(x)=

m

•

n

，且函數f（x）的圖象與直線y=2相鄰兩公共點間的距離為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C、的對邊，且a=

3

，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)（cosωx-sinωx，2sinωx）
=cos2ωx-sin2ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)
∵ω＞0
∴函數f（x）的周期T=

2π

2ω

=

π

ω

∵函數f（x）的圖象與直線y=2相鄰兩公共點間的距離為π．
∴

π

ω

=π∴ω=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω=1，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
∵f（A）=1
∴2sin(2A+

π

6

)=1
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

∵0＜A＜π∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

∴2A+

π

6

=

5π

6

?A=

π

3

由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

∴b²+c²-bc=3又b+c=3聯立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2