Question

已知

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，若函數f(x)=

m

•

n

，且函數f（x）的圖象與直線y=2相鄰兩公共點間的距離為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C、的對邊，且a=

3

，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的數量積運算將函數f（x）化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，再由函數f（x）的圖象與直線y=2相鄰兩公共點間的距離為π求出最小正周期，最后根據T=

2π

w

求出w的值．
（2）將w的值代入確定函數f（x）的解析式，根據f（A）=1和正弦函數的性質和求出A的值，再由余弦定理b，c的值，進而得到面積．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)（cosωx-sinωx，2sinωx）
=cos2ωx-sin2ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)
∵ω＞0
∴函數f（x）的周期T=

2π

2ω

=

π

ω

∵函數f（x）的圖象與直線y=2相鄰兩公共點間的距離為π．
∴

π

ω

=π∴ω=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω=1，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
∵f（A）=1
∴2sin(2A+

π

6

)=1
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

∵0＜A＜π∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

∴2A+

π

6

=

5π

6

?A=

π

3

由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

∴b²+c²-bc=3又b+c=3聯立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

點評：本題主要考查向量的數量積運算、正弦函數的性質．考查學生的綜合運用和計算能力．向量和三角函數的綜合題是高考的熱點，每年必考，要重視．