Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為。斜率為1的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為。

（1）求橢圓的方程；

（2）求的面積。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知，又，寫(xiě)出橢圓的方程；（2）先斜截式設(shè)出直線(xiàn)，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，可得出中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再根據(jù)△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫(xiě)出：，并計(jì)算，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求高，即可計(jì)算出面積．

試題解析：（1）由已知得，，解得，又，

所以橢圓的方程為．

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由得①

設(shè)、的坐標(biāo)分別為，（），中點(diǎn)為，

則，，

因?yàn)?/span>是等腰△的底邊，所以．

所以的斜率為，解得，此時(shí)方程①為．

解得，，所以，，所以，

此時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離，

所以△的面積．