【題目】如圖在四棱錐
中底面
為直角梯形，
，
，側面
為正三角形且平面
底面，
，
分別為
的中點.
（1）證明：
平面；
（2）求
與平面
所成角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）首先取
中點
，連接
，再證明平面
平面
，根據面面平行的性質即可證明
平面.
（2）首先取
中點
，連接
，根據平面
底面
得到
底面，以為坐標原點，
，
，
分別為
，
，
軸建立空間直角坐標系，再利用空間向量計算
與平面
所成角即可.
（1）如圖所示：
取中點，連接，
因為
為
中位線，
所以
，
因為
平面，所以
平面.
因為
，
又因為
，所以
.
所以四邊形
為平行四邊形，
所以
，
因為
平面，所以
平面.
因為平面，平面，
，
所以平面平面.
因為
平面
，
平面，
所以
平面.
（2）取中點，連接.
因為
，所以
.
因為平面底面
，
所以底面.
以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，
如圖所示：
設
，
，
，
，
，
，
.
所以
，
，
，
設平面的一個法向量為
，
則
，即
，
可取
，解得
，
.
則
，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正項數列
，
滿足：對任意正整數
，都有
，
，
成等差數列，，，
成等比數列，且
，
．
（Ⅰ）求證：數列
是等差數列；
（Ⅱ）求數列，的通項公式；
（Ⅲ）設
=
+
+…+
，如果對任意的正整數，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某產品的包裝紙可類比如圖所示的平面圖形，其可看作是由正方形
和等腰梯形
拼成，已知
，
，在包裝的過程中，沿著
將正方形折起，直至
，得到多面體
，
分別為
中點.
（1）證明：
平面；
（2）求四棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為抗擊新冠疫情，某企業組織員工進行用款捐物的愛心活動.原則上每人以自愿為基礎，捐款不超過400元.現項目負責人統計全體員工數據后，下表為隨機抽取的10名員工.的捐款數額.
員工編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
捐款數額 | 124 | 86 | 215 | 53 | 132 | 195 | 400 | 90 | 300 | 225 |
（1）若從這10名員工中任意選取3人，記選到的3人中捐款數額大于200元的人數為X，求X的分布列和數學期望：
（2）以表中選取的10人作為樣本.估計該企業全體員工的捐款情況，現從企業員工中依次抽取8人，若抽到k人的捐款數額小于200元的可能性最大，求k的值.
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