Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是正方形，梯形底面ABCD，且．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線AF與平面CDE所成角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由已知結合面面垂直的性質可得，在梯形ADEF中，求解三角形得，再由線面垂直的判定可得平面ABF，進一步得到平面平面CDF；

（Ⅱ）以A為坐標原點，分別以AB，AD所在直線為x，y軸建立空間直角坐標系，求出平面CDE的一個法向量，再求出的坐標，由與平面CDE的法向量所成角的余弦值可得直線AF與平面CDE所成角的大小．

（Ⅰ）證明：∵梯形底面ABCD，且梯形底面，

又，

平面，

，

在梯形ADEF中，過F作，垂足為G，

設，可得，

則，，

，

則，

即，

又，且平面，

平面ABF，

而平面CDF，

∴平面平面CDF；

（Ⅱ）解：以A為坐標原點，分別以AB，AD所在直線為x，y軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，，，，

設平面CDE的一個法向量為，

由，

取，得．

設直線AF與平面CDE所成角的大小為，則，

，

即直線AF與平面CDE所成角的大小為．