Question

【題目】兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為xkm，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在的 中點(diǎn)時，對城A和城B的總影響度為0.065．
（1）將y表示成x的函數(shù)；
（2）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧 上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知AC⊥BC，BC2=400﹣x2，

其中當(dāng) 時，y=0.065，

所以k=9

所以y表示成x的函數(shù)為

（2）解： ， ，

令y'=0得18x4=8（400﹣x2）2，

所以x2=160，即 ，

當(dāng) 時，18x4＜8（400﹣x2）2，即y'＜0所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng) 時，18x4＞8（400﹣x2）2，即y'＞0所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)．

所以當(dāng) 時，即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為 時，函數(shù) 有最小值

【解析】（1）先利用AC⊥BC，求出BC2=400﹣x2 ， 再利用圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，得到y(tǒng)和x之間的函數(shù)關(guān)系，最后利用垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時，對城A和城B的總影響度為0.065求出k即可求出結(jié)果．（2）先求出導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，進(jìn)而求出其單調(diào)區(qū)間，找到函數(shù)的最小值即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．