Question

已知a、b、c∈R⁺，a、b、c互不相等且abc=1．求證：

a

+

b

+

c

＜

1

a

+

1

b

+

1

c

．

Answer 1

分析：根據條件可化為

a

+

b

+

c

=

1 bc

+

1 ac

+

1 ab

，應用基本不等式即可證得結論．

解答：（本小題滿分14分）
證明：∵a、b、c∈R⁺且互不相等，且abc=1
∴

a

+

b

+

c

=

1 bc

+

1 ac

+

1 ab

＜

1 b + 1 c

2

+

1 a + 1 c

2

+

1 a + 1 b

2

=

1

a

+

1

b

+

1

c

．
故不等式成立．

點評：本題考查基本不等式，難點在于對條件的合理轉化即

a

+

b

+

c

=

1 bc

+

1 ac

+

1 ab

的轉化，屬于中檔題．