Question

（2012•綿陽二模）已知函數f（x）=x³-2ax²+bx，x∈R，a，b為常數，g（x）=-2x²+4x
（1）若曲線y=f（x）%y=g（x）在點（2，0）處有相同的切線，求a，b的值；
（2）當b=4a-3且a＜

1

2

時，函數h（x）=f（x）+g（x）在（a-1，3-a²）上有最小值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據曲線y=f（x）與y=g（x）在x=2處的切線的斜率相等，以及點（2，0）在f（x）的圖象上建立方程組，解之即可求出所求；
（II）將b用a表示，然后利用導數研究在h（x）在（a-1，3-a²）上有極小值即為最小值，使極小值點在（a-1，3-a²）上，建立不等式關系，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由g'（x）=-4x+4，
∴切線的斜率k=-4×2+4=-4．
又f′（x）=3x²-4ax+b，
所以切線斜率k=3×4-4a×2+b=12-8a+b．
由題意知-4=12-8a+b，
即8a-b=16．       ①
又點（2，0）在f（x）的圖象上，即0=4-4a+b．    ②
由①②解得a=3，b=8．（5分）
（Ⅱ）由題意知h（x）=f（x）+g（x）=x³-（2a+2）x²+（4a+1）x，
由h′（x）=3x²-2（2a+2）x+4a+1=[3x-（4a+1）]（x-1），
得h′（x）=0的根為x₁=

4a+1

3

＜x₂=1（a＜

1

2

）．
當h′（x）＞0時，x＜

4a+1

3

或x＞1，
當h′（x）＜0時，

4a+1

3

＜x＜1，
∴h（x）在x=1處取得極小值為h（1）=2a．（8分）
由h（x）=2a，即x³-（2a+2）x²+（4a+1）x=2a，
可得x³-2ax²-2x²+4ax+x-2a=0，
即x³-2x²+x-2a（x-1）²=（x-1）²（x-2a）=0，
∴x=1或x=2a使得h（x）=2a．  （10分）
要使h（x）在（a-1，3-a²）上有最小值，
則2a≤a-1＜1＜3-a²，
解得-

2

＜a≤-1（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數求閉區間上函數的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．