Question

已知橢圓的一個焦點為(

2

，0)，且長軸長為短軸長的

3

倍．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的下頂點為A，且橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M，N．當(dāng)|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵橢圓的一個焦點為(

2

，0)，且長軸長為短軸長的

3

倍，
∴c=

2

，a=

3

b，
∴a=

3

，b=1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+y2=1；
（2）設(shè)P為弦MN的中點，直線方程代入橢圓方程，消去y得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0
由于直線與橢圓有兩個交點，∴△＞0，即m²＜3k²+1①
∴xp=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，
∴y_P=kx_P+m=

m

3k2+1

∴k_AP=

yP+1

xp

=-

m+3k2+1

3mk

，
又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2由②得k²=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

．
故所求m的取范圍是（

1

2

，2）．