Question

【題目】如圖，在直角梯形中，.直角梯形通過(guò)直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面平面.

(Ⅰ)求證：平面平面；

(Ⅱ)延長(zhǎng)至點(diǎn)，使為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面所成的角為，且，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）由于直角梯形通過(guò)直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，,利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而由面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）由(Ⅰ)可知兩兩垂直.分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，的坐標(biāo)為，求得，利用向量垂直數(shù)量積為零求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：(Ⅰ)直角梯形中，，直角梯形通過(guò)直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，,又平面平面，平面，平面平面.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知兩兩垂直.分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.由已知,所以

，設(shè)是平面的法向量，則，即，取，得.

設(shè)的坐標(biāo)為，則,由,

得,,,

,所以，

當(dāng)時(shí)，,點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為.