Question

已知△ABC中AB=4，AC=5，BC=7，點(diǎn)O是其內(nèi)切圓圓心，則

AO

•

BC

=

 

．

Answer 1

分析：利用三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、向量的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答：解：如圖所示，
設(shè)點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)．
設(shè)AE=AF=x，CE=CD=y，BD=BF=z．
則

x+y=5 y+z=7 x+z=4

，解得x=1．
設(shè)∠DAC=θ．在Rt△OAE中，AO•cosθ=AE=1．
∴

AO

•

BC

=

AO

•(

AC

-

AB

)=

AO

•

AB

-

AO

•

AC

=|

AO

| |

AB

|cosθ-|

AO

| |

AC

|cosθ
=5|

AO

|cosθ-4|

AO

|cosθ
=|

AO

|cosθ
=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、向量的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，屬于難題．