Question

【題目】已知集合，，，令表示集合所含元素的個數.

（1）寫出的值；

（2）當時，寫出的表達式，并用數學歸納法證明.

Answer 1

【答案】（1）13

（2）

【解析】

試題（1）根據題意按分類計數：共13個（2）由（1）知，所以當時，的表達式要按除的余數進行分類，最后不難利用數學歸納法進行證明

試題解析：（1）．

（2）當時，（）．

下面用數學歸納法證明：

①當時，，結論成立；

②假設（）時結論成立，那么時，在的基礎上新增加的元素在，，中產生，分以下情形討論：

1）若，則，此時有

，結論成立；

2）若，則，此時有

，結論成立；

3）若，則，此時有

，結論成立；

4）若，則，此時有

，結論成立；

5）若，則，此時有

，結論成立；

6）若，則，此時有

，結論成立．

綜上所述，結論對滿足的自然數均成立．