Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、G分別是AB、BB₁、AC₁的中點，AB=BB₁=2．
（Ⅰ）在棱B₁C₁上是否存在點F使GF∥DE？如果存在，試確定它的位置；如果不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值；
（Ⅲ）求B₁到截面DEG的距離．

Answer 1

分析：（I）一般找線段的端點或線段的中點，即點F存在且為B₁C₁的中點．
（II）建立平面直角坐標系并且設出相關點的坐標，求出兩個平面的法向量，再根據兩個向量的夾角轉化為兩個平面的夾角的余弦值，進而得到兩個平面夾角的正弦值即可．
（III）先求出平面的法向量，再求出平面的任意一個斜線所在的向量在法向量上的射影即可．

解答：解：（Ⅰ）點F存在且為B₁C₁的中點，連接AB₁，
∵D，E，G分別是AB，BB₁，AC₁的中點，
∴DE∥AB₁∥GF．              
（Ⅱ）如圖，以A為坐標原點，

AC

，

AA1

的方向分別作為y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，B(

3

，1，0)，B1(

3

，1，2)，C1(0，2，2)；
∵D、E、G分別是AB、BB₁、AC₁的中點，
∴D(

3

2

，

1

2

，0)，E(

3

，1，1)，G(0，1，1)，

DE

=(

3

2

，

1

2

，1)，

DG

=(-

3

2

，

1

2

，1)；
設平面DEG的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

DE

•

n

=0，

DG

•

n

=0
得

3 2 x+ 1 2 y+z=0 - 3 2 x+ 1 2 y+z=0

，解得x=0，y=-2z，
取z=1得

n

=(0，-2，1)；
又平面ABC的一個法向量為

AA1

=(0，0，2)，
設截面DEG與底面ABC所成銳二面角為θ(0＜θ＜

π

2

)，
則cosθ=|

n • AA1

| n || AA1 |

|=

2

5 •2

=

5

5

，
∴sinθ=

2 5

5

，得tanθ=2．
故截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值為2．                     
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面DEG的一個法向量為

n

=(0，-2，1)，

EB1

=(0，0，1)；
設點B₁到截面DEG的距離為d，
由向量的投影得d=|

EB1 • n

| n |

|=

1

5 •1

=

5

5

，
故點B₁到截面DEG的距離為

5

5

．

點評：夾角錯了問題的關鍵是建立正確的直角坐標系，熟練的利用空間向量解決夾角與距離問題，主要考查學生的空間想象能力與推理論證能力．