Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD與平面AA₁CC₁所成的角為a，則sina=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)B作BF⊥AC，過(guò)B₁作B₁E⊥A₁C₁，連接EF，過(guò)D作DG⊥EF，連接AG，證明DG⊥面AA1C1C，∠DAG=α，解直角三角形ADG即可．

解答：解：如圖所示，過(guò)B作BF⊥AC，過(guò)B₁作B₁E⊥A₁C₁，連接EF，過(guò)D作DG⊥EF，連接AG，
在正三棱柱中，有B1E⊥面AA1C1C，BF⊥面AA1C1C，
故DG⊥面AA1C1C，
∴∠DAG=α，可求得DG=BF=

3

2

，
AD=

AB2+BD2

=

2

，
故sinα=

DG

AD

=

6

4

     
故答案為

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查直線(xiàn)和平面所成的角，關(guān)鍵是找到斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬基礎(chǔ)題．