Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DB= ，AB=1，M是PB的中點．
（1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC與PB所成的角；
（3）求平面AMC與平面BMC所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理得：CD⊥PD．

因而，CD與面PAD內兩條相交直線AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD．

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD

（2）解：過點B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角．

連接AE，可知AC=CB=BE=AE= ，

又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形．

由PA⊥面ABCD，得∠PEB=90°

在Rt△PEB中，BE=a2=3b2，PB= ，

∴cos∠PBE= = ．

∴AC與PB所成的角為arccos

（3）證明：作AN⊥CM，垂足為N，連接BN．

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角

∵CB⊥AC，

由三垂線定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．

在等腰三角形AMC中，ANMC= AC，

∴AN= ．∴AB=2，

∴cos∠ANB= =﹣ ，

故平面AMC與平面BMC所成二面角的大小為arccos（﹣ ）．

【解析】（1）由三垂線定理得CD⊥PD，從而CD⊥面PAD，再由CD面PCD，能證明面PAD⊥面PCD． （2）過點B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角． 連接AE，推導出四邊形ACBE為正方形，由此能求出AC與PB所成的角．（3）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，則∠ANB為所求二面角的平面角，由此能求出平面AMC與平面BMC所成二面角的大小．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．