Question

【題目】在極坐標系中，曲線C1：ρsin2θ=4cosθ．以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系xOy，曲線C2的參數方程為： ，（θ∈[﹣ ， ]），曲線C： （t為參數）．
（Ⅰ）求C1的直角坐標方程；
（Ⅱ）C與C1相交于A，B，與C2相切于點Q，求|AQ|﹣|BQ|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ， 由ρsin2θ=4cosθ，得ρ2sin2θ=4ρcosθ，
∴曲線C1的直角坐標方程為：y2=4x．
（Ⅱ）設Q（cosθ，sinθ），（θ∈[﹣ ， ]），由題意知直線C的斜率k= ，
所以 ，即 =tanθ=﹣ ，
所以 ，故Q（ ，﹣ ）．
取 ， ，不妨設A，B對應的參數分別為t1 ， t2 ．
把 ，代入y2=4x，
化簡得 ，即3t2﹣（8+2 ）t﹣8 =0，
∵C與C1相交于A，B，∴△＞0，t1+t2= ．
∴|AQ|﹣|BQ|=|t1+t2|=
【解析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C1的直角坐標方程．（Ⅱ）設Q（cosθ，sinθ），（θ∈[﹣ ， ]），由題意知直線C的斜率k= ，從而 =tanθ=﹣ ，進而Q（ ，﹣ ）．設A，B對應的參數分別為t1 ， t2 ． 把 ，代入y2=4x，得3t2﹣（8+2 ）t﹣8 =0，由此利用韋達定理能求出|AQ|﹣|BQ|．