Question

【題目】平面直角坐標系xoy中，橢圓C1： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦，當其中一條弦所在直線斜率為0時，兩弦長之和為6．
（1）求橢圓的方程；
（2）A，B是拋物線C2：x2=4y上兩點，且A，B處的切線相互垂直，直線AB與橢圓C1相交于C，D兩點，求弦|CD|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵橢圓C1： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦，

當其中一條弦所在直線斜率為0時，兩弦長之和為6，

∴ ，解得a=2，b=c= ，

∴橢圓方程為 ．

（2）

解：設直線AB為：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

由 ，得x2﹣4kx﹣4m=0，

則x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，

由x2=4y，得 ，

故切線PA，PB的斜率分別為 ，kPB= ，

再由PA⊥PB，得kPAkPB=﹣1，

∴ ，

解得m=1，這說明直線AB過拋物線C1的焦點F，

由 ，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，

∴|CD|= = ≤3．

當且僅當k= 時取等號，

∴弦|CD|的最大值為3

【解析】（1）由橢圓的離心率為 ，過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦，當其中一條弦所在直線斜率為0時，兩弦長之和為6，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．（2）設直線AB為：y=kx+m，由 ，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韋達定理、直線垂直推導出直線AB過拋物線C1的焦點F，再由 ，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦長公式能求出弦|CD|的最大值．