Question

【題目】已知曲線的極坐標方程是，曲線的極坐標方程是，正三角形的頂點都在上，且按逆時針次序排列，點的極坐標為，以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系.

（1）求曲線的直角坐標方程及點的直角坐標；

（2）設為上任意一點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；點的直角坐標為，，（2）

【解析】

（1）整理曲線的極坐標方程為,根據即可求得曲線的直角坐標方程；由題可知,根據點的極坐標為,由按逆時針次序排列可得點的極坐標為,點的極坐標為,進而求解即可；

（2）由（1）可得曲線的參數方程為（為參數）,設,則（為參數）,先求得的坐標表示,即可求得,再根據求解即可.

解:（1）曲線的極坐標方程是,即,

∵,

∴直角坐標方程為,即.

∵正三角形的頂點都在上,且按逆時針次序排列,

設極點為,則,

∴點的極坐標為,,,

∴點的直角坐標為,,,

即,,.

（2）由（1）可得曲線的參數方程為（為參數）,

設,則（為參數）,

則,

∴

,

,

的取值范圍為.