Question

【題目】如圖，垂直于所在的平面，為的直徑，是弧上的一個動點（不與端點重合），為上一點，且是線段上的一個動點（不與端點重合）.

（1）求證：平面；

（2）若是弧的中點，是銳角，且三棱錐的體積為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由為的直徑，得到，又由平面，證得，利用線面垂直的判定定理得到平面，再利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）當點位于線段上時，如圖所示：作，垂足為點，根據線面垂直的判定定，證得平面，得到是三棱錐的底面上的高，再來體積公式，列出方程，即可求解.

（1）證明：因為為的直徑，

所以根據直徑所對的圓周角是直角，可知，

因為平面，平面，所以，

又因為平面平面，所以平面，

又平面，所以，

又因為平面，平面，

所以平面.

（2）當點位于線段上時，如圖所示：作，垂足為點，

因為平面，平面，所以，

又因為，所以，

又因為平面，所以平面，

所以是三棱錐的底面上的高，

因為是弧的中點，且，

所以，且，

若三棱錐的體積為，

則，解得，

所以，所以，

所以，

綜上所述，當三棱錐的體積為時，.