Question

．（本小題滿分12分）
已知橢圓與雙曲線有共同的焦點F₁、F₂，設它們在第一象限的交點為P，且
（1）求橢圓的方程；
（2）已知N（0，-1），對于（1）中的橢圓，是否存在斜率為的直線，與橢圓交于不同的兩點A、B，點Q滿足？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）焦點F₁、F₂的坐標分別為、
由雙曲線和橢圓的定義，得
解得      2分
  
即  解得     4分
從而   故橢圓的方程為    6分
（2）設直線的方程為
由方程組
消去得
直線與橢圓交于不同兩點

即①    8分
則
由，得Q為線段AB的中點，
則   
    
即  化簡得     10分
代入①得解得       11分
又由
所以，直線在軸上的截距的取值范圍是       12分

略