Question

（本題滿分13分）如圖，分別過橢圓：左右焦點、的動直線相交于點，與橢圓分別交于不同四點，直線的斜率、、、滿足．已知當軸重合時，，．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點，使得為定值．若存在，求出點坐標并求出此定值，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）  （2）M、N坐標分別為；為定值

試題分析：（1）由已知條件推導出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出橢圓E的方程．
（2）焦點F₁、F₂坐標分別為（-1，0），（1，0），當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為（-1，0）或（1，0），當直線l₁，l₂斜率存在時，設斜率分別為m₁，m₂，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得(2+3m₁²)x²+6m₁²x+3m₁²?6＝0，由此利用韋達定理結合題設條件能推導出存在點M，N其坐標分別為（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2．
（1）當l₁與x軸重合時，，即，         2分
∴l₂垂直于x軸，得，，（4分）
得，，　　∴橢圓E的方程為．   5分
（2）焦點、坐標分別為(—1，0)、(1，0)．
當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為(—1，0)或(1，0)．   6分
當直線l₁、l₂斜率存在時，設斜率分別為，，設，，
由得：，
∴，．（7分）

，
同理．   9分
∵，∴，即．
由題意知，　∴．
設，則，即，   11分
由當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為(—1，0)或(1，0)也滿足此方程，
∴點橢圓上，   12分
∴存在點M、N其坐標分別為，使得為定值．  13分