Question

已知以點C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
(1)求證：△AOB的面積為定值；
(2)設直線2x＋y－4＝0與圓C交于點M、N，若OM＝ON，求圓C的方程.

Answer 1

(1)見解析；(2)(x－2)²＋(y－1)²＝5.

試題分析：(1)先求出圓的方程，然后求出與坐標軸的交點坐標，然后求S_△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4為定值；(2)由OM＝ON，知O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，由C、H、O三點共線求出t＝2或t＝－2，從而得出圓方程.此題注意圓方程的取舍.
試題解析： (1)證明　由題設知，圓C的方程為(x－t)²＋²＝t²＋，
化簡得x²－2tx＋y²－y＝0，當y＝0時，x＝0或2t，則A(2t,0)；
當x＝0時，y＝0或，則B，∴S_△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4為定值．
(2)解　∵OM＝ON，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，
∴C、H、O三點共線，則直線OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.
∴圓心為C(2,1)或C(－2，－1).
∴圓C的方程為(x－2)²＋(y－1)²＝5或(x＋2)²＋(y＋1)²＝5，
由于當圓方程為(x＋2)²＋(y＋1)²＝5時，直線2x＋y－4＝0到圓心的距離d>r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去.
∴圓C的方程為(x－2)²＋(y－1)²＝5.