Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為、，短軸的兩個端點分別為、，且為等邊三角形．

（1）若橢圓長軸的長為4，求橢圓的方程；

（2）如果在橢圓上存在不同的兩點、關于直線對稱，求實數的取值范圍；

（3）已知點，橢圓上兩點、滿足，求點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據為等邊三角形，可得，結合橢圓長軸的長為4，即，得，從而求得橢圓的方程；

（2）根據等邊三角形，得出a,b,c之間的關系，從而設出橢圓的方程，根據橢圓中中點弦所在直線的斜率所滿足的條件，結合對稱的條件，求得弦的中點坐標，保證點在橢圓內，得到相應的不等關系，得到結果；

（3）利用向量的關系，得到點的坐標之間的關系，結合隱含條件，得到相應的范圍，求得結果

（1）由題意，得，，∴橢圓的方程為；

（2）“點差法”設橢圓的方程為，即，

設、、中點，

則，

得，又，解得，

顯然在橢圓內，∴，得，又，∴；

（3）設橢圓方程，即，

方法一：（常規解法）

①過、的直線斜率不存在，即直線方程為時，、，

由，得，

②過、的直線斜率存在，設直線方程為、、，

由，得，

，

則，由，可得，

∴，

綜上，點橫坐標的取值范圍是．

方法二：設，則，

，

又，∴，

∴，

∴，即點橫坐標的取值范圍是．