Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，兩條曲線交于兩點.

(1) 求直線與曲線交點的極坐標；

(2) 已知為曲線 (為參數)上的一動點，設直線與曲線的交點為，求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

（1）把極坐標方程化為直角坐標方程為， ，解方程組可得直線與曲線交點為，化為極坐標為．（2）由（1）可得，故當點到直線的距離最小時， 的面積最小．故可設點，則點到直線的距離為 (其中），可得，從而得面積的最小值為．

試題解析：

（1)由，得，

又，

所以，

由，得，

又,

所以，

由，解得或 ．

所以直線與曲線交點的極坐標為．

(2)由（1)知直線與曲線交點的直角坐標為，

所以，

因此當的面積最小時，點到直線的距離也最小．

設點，則點到直線的距離為

(其中）

故當時， 取得最小值，且，

所以面積的最小值為．