Question

當實數t取什么值時，復數z=

|cost|

+

|sint|

i的幅角主值θ適合0≤θ≤

π

4

？

Answer 1

分析：復數的幅角主值θ適合0≤θ≤

π

4

，說明復數的實部、虛部都大于零，虛部小于實部，化簡求解．

解答：解：因為復數z=

|cost|

+

|sint|

i的實部與虛部都是非負數，
所以z的幅角主值θ一定適合0≤θ≤

π

2

從而0≤θ≤

π

4

?0≤tgθ≤1.
顯然r=|z|≠0因為tgθ=

|sint|

|cost|

=

|tgt|

，所以0≤tgθ≤1?0≤|tgθ|≤1?-1≤tgt≤1．
由于
y=tgt在-

π

2

＜t＜

π

2

內是增函數，并且它的周期是π，
因此-1≤tgt≤1的解是kπ-

π

4

≤t≤kπ+

π

4

(k為任意整數).
這就是所求的實數t的取值范圍

點評：本題考查復數代數表示法及其幾何意義，三角函數的計算，復數的輻角主值，是難題．