Question

【題目】已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0），點R（1，2）在拋物線C上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點Q（1，1）作直線交拋物線C于不同于R的兩點A，B．若直線AR，BR分別交直線l：y=2x+2于M，N兩點，求線段MN最小時直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點R（1，2）在拋物線C：y2=2px（p＞0）上，

∴4=2p，解得p=2，

∴拋物線C的方程為y2=4x

（2）解：設A（x1，y1），B（x2y2），直線AB的方程為x=m（y﹣1）+1，m≠0，

由 ，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=4（m﹣1），

設直線AR的方程為y=k1（x﹣1）+2，

由 ，解得點M的橫坐標xM= ，

又k1= = ，

∴xM= =﹣ ，

同理點N的橫坐標xN=﹣ ，

|y2﹣y1|= =4 ，

∴|MN|=|xM﹣xN|= |﹣ + |=2 | |，

=8 =2 ，

令m﹣1=t，t≠0，則m=t=1，

∴|MN|=2 ≥ ，

即當t=﹣2，m=﹣1時，|MN|取最小值為 ，

此時直線AB的方程為x+y﹣2=0

【解析】（1）由點R（1，2）在拋物線C：y2=px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出拋物線C的方程．（2）設A（x1 ， y1），B（x2y2），設直線AB的方程為x=m（y﹣1）+1，m≠0，設直線AR的方程為y=k1（x﹣1）+2，由已知條件推導出xM=﹣ ，xN=﹣ ，由此求出|MN|=2 ，再用換元法能求出|MN|的最小值及此時直線AB的方程．