Question

已知a、b是不共線的向量，

AB

=λa+b，

AC

=a+μb（λ，μ∈R），則A、B、C三點共線的充要條件是

 

．

Answer 1

分析：先求A、B、C三點共線的充要條件，我們要先根據已知條件a、b是不共線的向量，

AB

=λa+b，

AC

=a+μb（λ，μ∈R），判斷λ與μ滿足的關系；并以此關系為已知條件，看能不能反推回來得到A、B、C三點共線．如果兩個過程都是可以的，該關系式即為所求．

解答：解：由于

AB

，

AC

有公共點A，
∴若A、B、C三點共線
則

AB

與

AC

共線
即存在一個實數t，使

AB

=t

AC

即

λ=at 1=μt

消去參數t得：λμ=1
反之，當λμ=1時

AB

=

1

μ

a+b
此時存在實數

1

μ

使

AB

=

1

μ

AC

故

AB

與

AC

共線
又由

AB

，

AC

有公共點A，
∴A、B、C三點共線
故A、B、C三點共線的充要條件是λμ=1

點評：判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．