Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）以雙曲線

x2

3

-y2=1的焦點為頂點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的左、右頂點分別為點A，B，點M是橢圓C上異于A，B的任意一點．
①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；
②若直線MA，MB與直線x=4分別交于點P，Q，求線段PQ長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓、雙曲線的標準方程及其性質即可得出；
（2）①利用點在橢圓上、斜率計算公式即可證明；
②利用①的結論、斜率計算公式、基本不等式的性質即可求出．

解答：解：（1）易知雙曲線

x2

3

-y2=1的焦點為（-2，0），（2，0），離心率為

2

3

，
則在橢圓C中a=2，e=

3

2

，故在橢圓C中c=

3

，b=1，∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①設M（x₀，y₀）（x₀≠±2），由題易知A（-2，0），B（2，0），則k_MA=

y0

x0+2

，k_MB=

y0

x0-2

，
∴k_MA•k_MB=

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

y 2 0

x 2 0 -4

，
∵點M在橢圓C上，∴

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，即

y

2 0

=1-

x 2 0

4

=-

1

4

(

x

2 0

-4)，故k_MA•k_MB=-

1

4

，即直線MA，MB的斜率之積為定值．    
②設P（4，y₁），Q（4，y₂），則k_MA=k_PA=

y1

6

，k_MB=k_BQ=

y2

2

，
由①得

y1

6

×

y2

2

=-

1

4

，即y₁y₂=-3，當y₁＞0，y₂＜0時，|PQ|=|y₁-y₂|≥2

-y1y2

=2

3

，當且僅當y₁=

3

，y₂=-

3

時等號成立．
同理，當y₁＜0，y₂＞0時，當且僅當y₁=-

3

，y₂=

3

時，|PQ|有最小值2

3

．

點評：數列掌握圓錐曲線的定義、標準方程及其性質、斜率計算公式、基本不等式的性質是解題的關鍵．善于利用已經證明的結論是常用的方法之一．