Question

已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）判斷方程根的個(gè)數(shù)，證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點(diǎn)，使得曲線在該點(diǎn)附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）
（2）方程有且只有一個(gè)實(shí)根．
（3）存在唯一點(diǎn)使得曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．

試題分析：解法一：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015356129717.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率．
由得：．                    4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015356473573.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以在至少有一個(gè)根．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240153565511281.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在上遞增，
所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有且只有一
個(gè)實(shí)根．                         7分
（Ⅲ）證明如下：
由，，可求得曲線在點(diǎn)處的切
線方程為，
即．                    8分
記
，
則．               11分
（1）當(dāng)，即時(shí)，對(duì)一切成立，
所以在上遞增．
又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即存在點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別位于曲線
在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．                   12分
（2）當(dāng)，即時(shí)，
時(shí)，；時(shí)，；
時(shí)，．
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的
同側(cè)．                                   13分
（3）當(dāng)，即時(shí)，
時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，．
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的同側(cè)．
綜上，存在唯一點(diǎn)使得曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．                             14分
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）證明如下：
由，，可求得曲線在點(diǎn)處的切
線方程為，
即．                  8分
記
，
則．            11分
若存在這樣的點(diǎn)，使得曲線在該點(diǎn)附近的左、右兩部分都
位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)，則問題等價(jià)于t不是極值點(diǎn)，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，
t不是極值點(diǎn)，即．
所以在上遞增．
又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即存在唯一點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．                         14分
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．