Question

設AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸，若把長軸2010等分，過每個分點作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P₁，P₂，…，P₂₀₀₉，F₁為橢圓的左焦點，則|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|的值是（　　）

• A、2008a
• B、2009a
• C、2010a
• D、2011a

Answer 1

分析：先根據橢圓的定義可知|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，進而可求得|F₁P₁|+|F₂P₁|+|F₁P₂|+|F₂P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₂P₂₀₀₉|的值，進而根據點P₁，P₂，…，P₂₀₀₉關于y軸成對稱分布，可知|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|=

1

2

（|F₁P₁|+|F₂P₁|+|F₁P₂|+|F₂P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₂P₂₀₀₉|），最后根據|F₁A|+|F₂B|=2a求得結果．

解答：解：由橢圓的定義可知|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a（i=1，2…，2009）
∴|F₁P₁|+|F₂P₁|+|F₁P₂|+|F₂P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₂P₂₀₀₉|=2a×2009=4018a
由題意知點P₁，P₂，…，P₂₀₀₉關于y軸成對稱分布，
∴|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|=

1

2

（|F₁P₁|+|F₂P₁|+|F₁P₂|+|F₂P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₂P₂₀₀₉|）=2009a，
又∵|F₁A|+|F₂B|=2a
故所求的值為2011a．
故選D

點評：本題主要考查了橢圓的定義．考查了學生對橢圓第一定義的理解和靈活運用．