【題目】已知函數
，
的在數集
上都有定義，對于任意的
，當
時，
或
成立，則稱是數集上的限制函數.
（1）求
在
上的限制函數的解析式；
（2）證明：如果在區間
上恒為正值，則在
上是增函數；[注：如果在區間上恒為負值，則在區間上是減函數，此結論無需證明，可以直接應用]
（3）利用（2）的結論，求函數
在
上的單調區間.
【答案】（1）
；（2）證明見解析；（3）見解析.
【解析】
（1）由題目給出的條件，構造
，根據條件驗證可得所求函數；
（2）運用反證法，即可得證；
（3）求得，根據第二問結論由大于0，可得增區間；小于0，可得減區間．
解：（1）任意的
，
；
由于任意性：
；
故構造；
由冪函數性質得在
單調遞減，
且易得：
，滿足題意，
故：；
（2）運用反證法，即假設
在
上不是增函數，
若在上是減函數，可得在區間
上恒為負值；
若在上是常數函數，可得在區間上恒為零；
若在上是有增有減，可得在區間上可能為正可能為負；
這與在區間上恒為正值矛盾，故在上是增函數；
（3）任意的
，當
，
，
構造
；
任取，
，
，
，
故：
，
是數集
上的限制函數，
，解得
利用（2）結論，當
函數單調遞增，
，解得
利用（2）結論，當
函數單調遞減.
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【題目】下列命題中：
①已知點
，動點
滿足
，則點的軌跡是一個圓；
②已知
，則動點的軌跡是雙曲線；
③兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值就越接近于1；
④在平面直角坐標系內，到點
和直線
的距離相等的點的軌跡是拋物線；
正確的命題是_________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】采用系統抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調查，為此將他們隨機編號1，， ，1000，適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8，抽到的50人中，編號落入區間
的人做問卷A，編號落入區間
的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數為（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方
向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這
樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大致是( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小組有7個同學，其中4個同學從來沒有參加過天文研究性學習活動，3個同學曾經參加過天文研究性學習活動．
（1）現從該小組中隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，求恰好選到1個曾經參加過天文研究性學習活動的同學的概率；
（2）若從該小組隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，則活動結束后，該小組有參加過天文研究性學習活動的同學個數
是一個隨機變量，求隨機變量的分布列和數學期望
．
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【題目】在直角坐標平面內，直線l過點P(1，1)，且傾斜角α＝
.以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的極坐標方程為ρ＝4sin θ.
(1)求圓C的直角坐標方程；
(2)設直線l與圓C交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值．
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【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，某城區對轄區內
，
，
三類行業共200個單位的生態環境治理成效進行了考核評估，考評分數達到80分及其以上的單位被稱為“星級”環保單位，未達到80分的單位被稱為“非星級”環保單位．現通過分層抽樣的方法獲得了這三類行業的20個單位，其考評分數如下：
類行業：85，82，77，78，83，87；
類行業：76，67，80，85，79，81；
類行業：87，89，76，86，75，84，90，82．
（Ⅰ）計算該城區這三類行業中每類行業的單位個數；
（Ⅱ）若從抽取的類行業這6個單位中，再隨機選取3個單位進行某項調查，求選出的這3個單位中既有“星級”環保單位，又有“非星級”環保單位的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一種作圖工具如圖1所示．
是滑槽
的中點，短桿
可繞
轉動，長桿
通過
處鉸鏈與連接，上的栓子
可沿滑槽AB滑動，且
，
．當栓子在滑槽AB內作往復運動時，帶動繞轉動一周（不動時，也不動），
處的筆尖畫出的曲線記為
．以為原點，所在的直線為
軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設動直線
與兩定直線
和
分別交于
兩點．若直線總與曲線
有且只有一個公共點，試探究：
的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
是公差為正數的等差數列,數列
為等比數列,且
，
，
.
(1)求數列、的通項公式；
(2)設數列
是由所有的項,且
的項組成的數列,且原項數先后順序保持不變,求數列的前2019項的和
；
(3)對任意給定的
是否存在
使
成等差數列？若存在,用
分別表示
和
(只要寫出一組即可)；若不存在,請說明理由.
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