Question

【題目】已知數列是公差為正數的等差數列,數列為等比數列,且，，.

(1)求數列、的通項公式；

(2)設數列是由所有的項,且的項組成的數列,且原項數先后順序保持不變,求數列的前2019項的和；

(3)對任意給定的是否存在使成等差數列？若存在,用分別表示和(只要寫出一組即可)；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）4105449；（3）當時，不存在，

當時，存在，滿足要求

【解析】

（1）設出公差，根據等差數列和等比數列的通項公式列方程求解即可；

（2）找出數列的前2019項中有多少項在數列中，在求和的過程中減去即可；

（3）分類嘗試，當時，發現不存在；當時，設，利用等差數列的通項公式，將均用表示出來，即可找出關系，得出結果．

解：（1）設數列的公差為，

則，

即，

,

解得或（舍去），

所以，即，

又，

所以等比數列的公比，

所以，即；

（2），故數列由數列的前2019+8項中減去數列的前8項構成，

設數列的前項和為，數列 的前項和為

；

（3）當時，若存在使成等差數列，

則，

因為，所以，與數列為正項數列相矛盾，

因此，當不存在；

當時，設，

則，所以，

令，得。

此時，

所以，

所以，

綜上所述，當時，不存在，

當時，存在，滿足要求．