Question

【題目】如圖，在正四棱錐中，，點、分別在線段、上，．

（1）若，求證：⊥；

（2）若二面角的大小為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題由于圖形是正四棱錐，因此設AC、BD交點為O，則以OA為x軸正方向，以OB為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標系，可用空間向量法解決問題．（1）只要證明＝0即可證明垂直；（2）設＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量為，利用法向量夾角與二面角相等或互補可求得．

試題解析: (1)連結AC、BD交于點O，以OA為x軸正方向，以OB為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標系．

因為PA＝AB＝，

則A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．

由＝，得N，

由＝，得M，

所以，＝(－1，－1，0)．

因為＝0，所以MN⊥AD

(2) 解：因為M在PA上，可設＝λ，得M(λ，0，1－λ)．

所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．

設平面MBD的法向量＝(x，y，z)，

由，得

其中一組解為x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．

因為平面ABD的法向量為＝(0，0，1)，

所以cos＝，即＝，解得λ＝，

從而M，N，

所以MN＝＝．