Question

函數的定義域為{x|x≠1}，圖象過原點，且．
（1）試求函數f（x）的單調減區間；
（2）已知各項均為負數的數列{a_n}前n項和為S_n，滿足，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數的定義域為{x|x≠1}，圖象過原點，可得a=0，b=c，結合，可求函數的解析式，求導函數，可確定函數f（x）的單調減區間；
（2）由已知可得，當n≥2時，，兩式相減，可求數列的通項，于是，待證不等式即為．為此，我們考慮證明不等式．
解答：（1）解：∵函數的定義域為{x|x≠1}，圖象過原點
∴a=0，b=c
∵，b=2n，n∈N^*，∴b=2
∴（x≠1），∴f
令f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
∴函數f（x）的單調減區間為（0，1），（1，2）
（2）證明：由已知可得，當n≥2時，
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n-a_n-1=-1（各項均為負數）
當n=1時，，∴a_n=-n…8
于是，待證不等式即為．
為此，我們考慮證明不等式…10
令，則t＞1，
再令g（t）=t-1-lnt，由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴當t∈（1，+∞）時，g（t）單調遞增
∴g（t）＞g（1）=0，∴t-1＞lnt
即①…12
令，
由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0，∴當t∈（1，+∞）時，h（t）單調遞增
∴h（t）＞h（1）=0，于是，即②…14
由①、②可知
所以，，即…16
點評：本題考查函數解析式的求解，考查導數知識的運用，考查數列的通項，考查不等式的證明，同時考查學生等價轉化問題的能力，屬于中檔題．