Question

已知a∈R，函數f(x)=

1

12

x3+

a+1

2

x2+(4a+1)x．
（Ⅰ）如果函數g（x）=f′（x）是偶函數，求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）如果函數f（x）是（-∞，?+∞）上的單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）據次數為奇數的系數為0，時函數為偶函數求出a；求出導函數的根，判斷根左右兩邊導函數的正負號，據極值的定義求出極值．
（Ⅱ）f（x）的導函數為二次函數，據函數單調性已知對應的導函數大于等于0恒成立，判別式小于等于0求出a的范圍．

解答：解：f′(x)=

1

4

x2+(a+1)x+(4a+1)．
（Ⅰ）∵f'（x）是偶函數，
∴a=-1．
此時f(x)=

1

12

x3-3x，f′(x)=

1

4

x2-3，
令f'（x）=0，解得：x=±2

3

．
列表如下：
可知：f（x）的極大值為f(-2

3

)=4

3

，f（x）的極小值為f(2

3

)=-4

3

．

（Ⅱ）∵f′(x)=

1

4

x2+(a+1)x+(4a+1)，
令△=(a+1)2-4•

1

4

•(4a+1)=a2-2a≤0，
解得：0≤a≤2．
這時f'（x）≥0恒成立，
∴函數y=f（x）在（-∞，?+∞）上為單調遞增函數．
綜上，a的取值范圍是{a|0≤a≤2}．

點評：被天籟村利用導數求函數的極大值、極小值；利用導數解決函數單調性已知求參數范圍：函數單增對應導數大于等于0；函數單減對應導數小于等于0恒成立．