Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的定義域；

（2）判斷函數的奇偶性，并證明你的結論；

（3）在函數圖像上是否存在兩個不同的點，使直線垂直軸，若存在，求出兩點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 函數的定義域為;(2)見解析;（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據函數的解析式有意義的原則，結合對數的真數部分必須大于0，構造關于x的不等式組，解不等式組，即可得到答案;

（2）根據函數奇偶性的定義，利用對數的運算性質，判斷f（﹣x）與f（x）的關系，即可得到函數f（x）的奇偶性；

(3) 假設函數圖象上存在兩點A(,),, 使直線垂直軸，則，

經推理不成立，故不存在.

試題解析：

(1) 由 ,

∴ 函數的定義域為

(2) ∵f (－x)＝ + lg＝– lg＝－f (x),

∴ f (x)是奇函數

（3）假設函數圖象上存在兩點A(,),,

使直線AB恰好與y軸垂直，其中．

即當時， , 不妨設,

于是

由

又

, ∴ , 與＝矛盾．

故函數圖象上不存在兩個不同的點A、B，使直線AB垂直y軸．