Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE= CD=2，M是線段AE上的動點．
（Ⅰ）試確定點M的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面MDF將幾何體ADE﹣BCF分成的兩部分的體積之比．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF．證明如下：

連結CE，交DF于N，連結MN，

由于M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，

由于MN平面MDF，又AC平面MDF，

所以AC∥平面MDF．

（Ⅱ）如圖，將幾何體ADE﹣BCF補成三棱柱ADE﹣B′CF，

三棱柱ADE﹣B′CF的體積為 ，

則幾何體ADE﹣BCF的體積

VADE﹣BCF=V三棱柱ADE﹣BCF﹣VF﹣BB'C= ．

三棱錐F﹣DEM的體積V三棱錐M﹣DEF= ，

故兩部分的體積之比為 （答1：4，4，4：1均可）

【解析】（Ⅰ）首先，根據所給圖形，得到當M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF．然后，根據線面平行的判定定理進行證明即可；（Ⅱ）利用補圖法，將幾何體ADE﹣BCF補成三棱柱ADE﹣B′CF，然后，借助于柱體和椎體的體積公式進行求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．