Question

【題目】（1）已知雙曲線與橢圓有相同焦點，且過點，求雙曲線標準方程；

（2）已知橢圓的一個焦點為，橢圓上一點到焦點的最大距離是3，求這個橢圓的離心率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設雙曲線標準方程 ，先利用雙曲線的的定義求出，再利用與橢圓共焦點可得到，進而可求出，即可得雙曲線的標準方程；

（2）由橢圓上一點到焦點的最大距離是3，可得：，又，解出，即可得橢圓的離心率．

解：（1）因為橢圓方程中，

，所以焦點坐標為.

設雙曲線標準方程 ，

因為曲線過點 ，

所以 ，

又，

所以即，

所以，又

所以，

所以雙曲線標準方程 ；

（2）由橢圓，可知橢圓焦點在軸，

即 ，

因為橢圓上一點到焦點的最大距離是3，

由橢圓定義可得：①，

又因為②，

由①②解得 ，

所以橢圓的離心率．