Question

已知數列的前項和（為正整數）
（1）令，求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）令，，試比較與的大小，并予以證明

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析

試題分析：（1）由題意數列的前項和表達式，先根據求數列的通項的遞推關系式，再求數列是等差數列，根據等差數列的通項求數列的通項；（2）由（1）所求數列的通項先得，再利用錯位相減法求得表達式，再把與作差比較大小，可利用數學歸納法證明
試題解析：（I）在中，令n=1，可得，即
當時，，


又數列是首項和公差均為1的等差數列
于是
(II)由（I）得，所以


由①-②得


于是確定的大小關系等價于比較的大小
由
可猜想當證明如下：
證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成立。
（2）假設時，，
所以當時猜想成立，
綜合（1）（2）可知，對一切的正整數，都有
證法2：
當時
，
綜上所述，當時，；當時項和；2、錯位相減法求和；3、作差比較法